Условие задачи: из ядер сложена пирамида в основе которой треугольник. Определите количество ядер в пирапиде, если в ней n ярусов.
Способ 1. Последовательное суммирование по ярусам
Каждый ярус — это треугольник из ядер.
Для 5 ярусов:
1-й ярус:
1
2-й ярус:
1+2=3
3-й ярус:
1+2+3=6
4-й ярус:
1+2+3+4=10
5-й ярус:
1+2+3+4+5=15
Складываем все ярусы:
1+3+6+10+15=35
Ответ: 35 ядер.
Преимущество способа: самый понятный, хорошо подходит для школьников.
Способ 2. Через треугольные числа
Количество ядер в каждом ярусе — это треугольное число:
Для 5 ярусов:
Теперь складываем:
1+3+6+10+15=35
Ответ: 35 ядер.
Преимущество способа: удобно, если ярусов много.
Способ 3. Формула тетраэдрального числа
Пирамида из ядер образует тетраэдральное число.
Формула:
Для 5 ярусов:
Сократим 6:
T=5⋅7=35
Ответ: 35 ядер.
Преимущество способа: самый быстрый математический метод.
Способ 4. Метод рекурсии
Каждый новый ярус добавляет новое треугольное число.
Обозначим количество ядер в пирамиде через 
.
Ответ: 35 ядер.
Преимущество способа: хорошо показывает, как пирамида растёт слой за слоем.
Способ 5. Логический способ без формул
Представим, что мы разбираем пирамиду сверху вниз.
Сначала наверху лежит 1 ядро.
Под ним слой побольше: 3 ядра.
Потом ещё больше: 6 ядер.
Затем 10 ядер.
Внизу самый большой слой: 15 ядер.
Теперь просто складываем:
1+3+6+10+15=35
Ответ: 35 ядер.
Преимущество способа: можно решить без знания специальных формул.
Способ 6. Через комбинации
Количество ядер в такой пирамиде можно найти как число сочетаний:
Для 5 ярусов:
Ответ: 35 ядер.
Преимущество способа: красивый метод для старших классов.
Проверка
Проверим формулу через сумму ярусов:
1+3+6+10+15=35
Проверим через тетраэдральную формулу:
Результаты совпали.
Сравнение способов
| Способ | Сложность | Скорость | Где удобно применять |
|---|---|---|---|
| Суммирование по ярусам | Низкая | Средняя | 5–6 класс |
| Треугольные числа | Средняя | Средняя | Когда нужно понять структуру слоёв |
| Тетраэдральная формула | Средняя | Быстрая | Когда известно число ярусов |
| Рекурсия | Средняя | Средняя | Для объяснения роста пирамиды |
| Логический способ | Низкая | Средняя | Для начального объяснения |
| Комбинации | Высокая | Быстрая | Для старших классов |
Вывод
Самый простой способ для школьника — последовательное суммирование по ярусам.
Самый универсальный способ — формула тетраэдрального числа:
Математики чаще используют именно эту формулу.
Если в пирамиде 5 ярусов, то в ней: 35 ядер.